Question

已知椭圆的一个焦点F1(0，-2

2

)，对应的准线方程为y=-

9

4

2

，且离心率e满足

2

3

，e，

4

3

成等比数列．
（1）求椭圆的方程；
（2）试问是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x=-

1

2

平分？若存在，求出l的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于

2

3

，e，

4

3

成等比数列求得离心率e，设p（x，y）是椭圆上任意一点，依椭圆的定义得x，y的关系式，即为所求的椭圆方程．
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设l存在，设l的方程为：y=kx+m，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用中点坐标公式即可求得倾斜角的取值范围，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）∵

2

3

，e，

4

3

成等比数列∴e2=

2

3

×

4

3

e=

2

3

2

设p（x，y）是椭圆上任意一点，依椭圆的定义得

x2+(y+2 2 )2

|y+ 9 4 2 |

=

2 2

3

，化简得9x2+y2=9
即x2+

y2

9

=1为所求的椭圆方程．
（2）假设l存在，因l与直线x=-

1

2

相交，不可能垂直x轴
因此可设l的方程为：y=kx+m
由

y=kx+m 9x2+y2=9

消去y，得9x2+(kx+m)2=9整理得
（k²+9）x²+2kmx+（m²-9）=0①
方程①有两个不等的实数根
∴△=4k²m²-4（k²+9）（m²-9）＞0即m²-k²-9＜0②
设两个交点M、N的坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂）
∴x1+x2=

-2km

k2+9

∵线段MN恰被直线x=-

1

2

平分
∴-

1

2

=

x1+x2

2

即-

2km

k2+9

=-1
∵k≠0∴m=

k2+9

2k

③把③代入②得 (

k2+9

2k

)2-(k2+9)＜0
∵k²+9＞0∴

k2+9

4k2

-1＜0∴k²＞3解得k＞

3

或k＜-

3

∴直线l的倾斜角范围为(

π

3

，

π

2

)∪(

π

2

，

2π

3

)

点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，注意（2）的处理存在性问题的一般方法，首先假设存在，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．