题目内容

已知椭圆的一个焦点F1(0,-2
2
)
,对应的准线方程为y=-
9
4
2
,且离心率e满足
2
3
,e,
4
3
成等比数列.
(1)求椭圆的方程;
(2)试问是否存在直线l,使l与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN恰被直线x=-
1
2
平分?若存在,求出l的倾斜角的取值范围;若不存在,请说明理由.
分析:(1)由于
2
3
,e,
4
3
成等比数列求得离心率e,设p(x,y)是椭圆上任意一点,依椭圆的定义得x,y的关系式,即为所求的椭圆方程.
(2)对于存在性问题,可先假设存在,即假设l存在,设l的方程为:y=kx+m,将直线的方程代入椭圆的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根系数的关系利用中点坐标公式即可求得倾斜角的取值范围,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在.
解答:解:(1)∵
2
3
,e,
4
3
成等比数列∴e2=
2
3
×
4
3
e=
2
3
2

设p(x,y)是椭圆上任意一点,依椭圆的定义得
x2+(y+2
2
)
2
|y+
9
4
2
|
=
2
2
3
,化简得9x2+y2=9

x2+
y2
9
=1
为所求的椭圆方程.
(2)假设l存在,因l与直线x=-
1
2
相交,不可能垂直x轴
因此可设l的方程为:y=kx+m
y=kx+m
9x2+y2=9
消去y,得9x2+(kx+m)2=9整理得

(k2+9)x2+2kmx+(m2-9)=0①
方程①有两个不等的实数根
∴△=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)>0即m2-k2-9<0②
设两个交点M、N的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2
x1+x2=
-2km
k2+9

∵线段MN恰被直线x=-
1
2
平分
-
1
2
=
x1+x2
2
即-
2km
k2+9
=-1

∵k≠0∴m=
k2+9
2k
③把③代入②得 (
k2+9
2k
)2-(k2+9)<0

∵k2+9>0∴
k2+9
4k2
-1<0
∴k2>3解得k>
3
k<-
3

∴直线l的倾斜角范围为(
π
3
π
2
)∪(
π
2
3
)
点评:本题考查椭圆的标准方程,以及简单性质的应用,注意(2)的处理存在性问题的一般方法,首先假设存在,进而根据题意、结合有关性质,化简、转化、计算,最后得到结论.
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