如图.已知F1.F2分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左.右焦点.顶点B的坐标是(0.b).连接BF2并延长交椭圆于点M.点M关于x轴的对称点为N.连接F1.N．(I)若点N的坐标为($\frac{8}{3}$.$\frac{2}{3}$).且BF2=2$\sqrt{2}$.求椭圆的方程, (Ⅱ)若F1N� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

如图，已知F₁、F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标是（0，b），连接BF₂并延长交椭圆于点M，点M关于x轴的对称点为N，连接F₁、N．
（I）若点N的坐标为（$\frac{8}{3}$，$\frac{2}{3}$），且BF₂=2$\sqrt{2}$，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若F₁N⊥MB，求椭圆离心率e的值．

分析（Ⅰ）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）求出C的坐标，利用F₁C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值．

解答解：（I）∵N的坐标为（$\frac{8}{3}$，$\frac{2}{3}$），
∴$\frac{\frac{64}{9}}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{4}{9}}{{b}^{2}}$=1，即$\frac{64}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$=9，
∵BF₂²=b²+c²=a²，
∴a²=（2$\sqrt{2}$）²=8，即b²=4，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）设F₁（-c，0），F₂（c，0），
∵B（0，b），
∴直线BF₂：y=-$\frac{b}{c}$x+b，
代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）得（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$）x²-$\frac{2}{c}$x=0，
解得x=0，或x=$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，
∵M（$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，$\frac{b（{c}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}+{c}^{2}}$），且M，N关于x轴对称，
∴N（$\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$，-$\frac{b（{c}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}+{c}^{2}}$），
则${k}_{{F}_{1}N}$=-$\frac{\frac{b（{c}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}+{c}^{2}}}{\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+{c}^{2}}+c}$=$\frac{{a}^{2}b-b{c}^{2}}{3{a}^{2}c+{c}^{3}}$，
∵F₁N⊥MB，
∴$\frac{{a}^{2}b-b{c}^{2}}{3{a}^{2}c+{c}^{3}}$•（-$\frac{b}{c}$）=-1，
由b²=a²-c²得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．