Question

已知函数,其中常数 .
（1）当时，求函数的极大值；
（2）试讨论在区间上的单调性;
（3）当时,曲线上总存在相异两点,
,使得曲线在点处的切线互相平行,求的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）（2）当时,在上单调递减,在上单调递增. 当时,在上单调递减，当时,在上单调递减,在上单调递增（3）

试题分析：(1) 当时,
,当或时, ;当时, ,
在和上单调递减,在上单调递增,故极大值=

(2)
当时,在上单调递减,在上单调递增.
当时,在上单调递减
当时,在上单调递减,在上单调递增.
(3)由题意,可得()
既
对恒成立
另则在上单调递增，
故，从而的取值范围是。
点评：解本题的注意事项：求单调区间时需分情况讨论，在解决恒成立问题时常转化为求函数最值问题