Question

【题目】设，其中，为个互不相同的有限集合，满足对任意、，均有.若（表示有限集合的元素个数），证明：存在，使得属于中的至少个集合.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

不妨设.设在中与不相交的集合有个，重新记为；

设包含的集合有个，重新记为.先证明，再证明.再证明包含的集合个数至少为.

不妨设.

设在中与不相交的集合有个，重新记为；

设包含的集合有个，重新记为.

由已知条件，得，即.

于是，得到一个映射，.

显然，为单射.从而，.

设.

在中除去，后，在剩下的个集合中，设包含的集合有个，由于剩下的个集合中，设包含的集合有个，由于剩下的个集合中每个集合与的交非空，即包含某个，从而，

. ①

不妨设.

则由式①知，即在剩下的个集合中，包含的集合至少有个.

又由于，故均包含.

因此，包含的集合个数至少为

.