题目内容
如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形,PD⊥底面ABCD,则下列命题中:
①AC⊥PB;
②AB∥平面PCD;
③PA与平面PBD所成的角等于PC与平面PBD所成的角;
④异面直线AB与PC所成的角等于异面直线DC与PA所成的角.
正确的命题为______.
①AC⊥PB;
②AB∥平面PCD;
③PA与平面PBD所成的角等于PC与平面PBD所成的角;
④异面直线AB与PC所成的角等于异面直线DC与PA所成的角.
正确的命题为______.
对于①,因为PD⊥底面ABCD,得BD是PB在平面ABCD内的射影
又因为ABCD为正方形,所以BD⊥AC,可得AC⊥PB,故①是真命题;
对于②,因为AB∥CD,AB?平面PCD且CD?平面PCD,
所以AB∥平面PCD,故②是真命题;
对于③,因为AD、CD分别为PA、PC在平面ABCD内的射影
所以∠PAD、∠PCD分别是PA与平面PBD所成的角和PC与平面PBD所成的角.
又因为Rt△PAD≌Rt△PCD,所以∠PAD=∠PCD,可得③是真命题;
对于④,因为AB∥CD,可得∠PCD等于AB与PC所成的角,是一个锐角
而CD⊥平面PAD,可得CD⊥PA,即DC与PA所成的角为直角,
所以AB与PC所成的角不等于异面直线DC与PA所成的角,故④是假命题
故答案为:①②③
又因为ABCD为正方形,所以BD⊥AC,可得AC⊥PB,故①是真命题;
对于②,因为AB∥CD,AB?平面PCD且CD?平面PCD,
所以AB∥平面PCD,故②是真命题;
对于③,因为AD、CD分别为PA、PC在平面ABCD内的射影
所以∠PAD、∠PCD分别是PA与平面PBD所成的角和PC与平面PBD所成的角.
又因为Rt△PAD≌Rt△PCD,所以∠PAD=∠PCD,可得③是真命题;
对于④,因为AB∥CD,可得∠PCD等于AB与PC所成的角,是一个锐角
而CD⊥平面PAD,可得CD⊥PA,即DC与PA所成的角为直角,
所以AB与PC所成的角不等于异面直线DC与PA所成的角,故④是假命题
故答案为:①②③
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