Question

已知函数f（x）=e^x（其中e是自然数的底数），g（x）=x²+ax+1，a∈R．
（1）记函数F（x）=f（x）•g（x），且a＞0，求F（x）的单调增区间；
（2）若对任意x₁，x₂∈[0，2]，x₁≠x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，即可求函数f（x）的单调区间；
（2）设x₁＜x₂，因为g（x）=e^x在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x₁）-f（x₂）|＜g（x₂）-g（x₁）在x₁、x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂恒成立，当a≥-（e^x+2x）恒成立时，a≥-1；当a≤e^x-2x恒成立时，a≤2-2ln2，综合讨论结果，可得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）y=f（x）•g（x）=（x^2_+ax+1）•e^x，
∴F'（x）=[x²+（a+2）x+（a+1）]e^x，
令F'（x）=0，则x²+（a+2）x+（a+1）=0，即[x+（a+1）]（x+1）=0，解得x=-1，或x=-a-1
∵a＞0，∴-a-1＜-1，
∵x∈[-a-1，-1]时，y'＜0，x∈（-∞，-a-1）和（-1，+∞）时，y'＞0，
∴函数F（x）的单调增区间为（-∞，-a-1）和（-1，+∞），
（2）设x₁＜x₂，因为f（x）=e^x在[0，2]单调递增，
故原不等式等价于|f（x₁）-f（x₂）|＜g（x₂）-g（x₁）在x₁、x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂恒成立，
所以g（x₁）-g（x₂）＜f（x₁）-f（x₂）＜g（x₂）-g（x₁）在x₁、x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂恒成立，
即

g(x1)-f(x1)＜g(x2)-f(x2) f(x1)+g(x1)＜g(x2)+f(x2)

，在x₁、x₂∈[0，2]，且x₁＜x₂恒成立，
则函数F（x）=g（x）-f（x）和G（x）=f（x）+g（x）都在[0，2]单调递增，
则有

G′(x)=g′(x)+f′(x)=ex+2x+a≥0 F′(x)=g′(x)-f′(x)=ex-2x-a≥0

，在[0，2]恒成立，
当a≥-（e^x+2x）恒成立时，因为-（e^x+2x）在[0，2]单调递减，
所以-（e^x+2x）的最大值为-1，所以a≥-1；
当a≤e^x-2x恒成立时，因为e^x-2x在[0，ln2]单调递减，在[ln2，2]单调递增，
所以e^x-2x的最小值为2-ln2，所以a≤2-2ln2，
综上：-1≤a≤2-2ln2．

点评：本题考查的知识点是导数在最大值和最小值中的应用，利用导数分析函数的单调性，利用导数分析函数的极值，运算量大，综合性强，转化困难，属于难题．