题目内容
已知f（x）=loga（a-ax）（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）当a＞1时，若不等式f-1（x2-mx+4）＞f（x）在x∈[-3，-1]上恒成立，求实数m的取值范围．
（1）求f（x）的定义域；
（2）当a＞1时，若不等式f-1（x2-mx+4）＞f（x）在x∈[-3，-1]上恒成立，求实数m的取值范围．
分析：（1）由于是对数函数，故其真数大于0，再对a进行分类讨论；
（2）不等式f-1（x2-mx+4）＞f（x）在x∈[-3，-1]上恒成立等价于不等式x2-mx+4＜x在x∈[-3，-1]上恒成立，从而分离参数m＜
=x+
-1在x∈[-3，-1]上恒成立，从而可求实数m的取值范围．
（2）不等式f-1（x2-mx+4）＞f（x）在x∈[-3，-1]上恒成立等价于不等式x2-mx+4＜x在x∈[-3，-1]上恒成立，从而分离参数m＜
| x2-x+4 |
| x |
| 4 |
| x |
解答：解：（1）当0＜a＜1时，由a-ax＞0得x＞1，此时定义域为（1，+∞）；
当a＞1时，由a-ax＞0得x＜1，此时定义域为（-∞，1）．
（2）令y=loga（a-ax），则ay=a-ax，解得x=loga（a-ay），
所以f-1（x）=loga（a-ax）（a＞0，x＜1）
又因为函数y=loga（a-ax）（a＞0，x＜1）在定义域上单调递减，于是不等式f-1（x2-mx+4）＞f（x）在x∈[-3，-1]上恒成立等价于不等式x2-mx+4＜x在x∈[-3，-1]上恒成立．
由于x∈[-3，-1]，所以m＜
=x+
-1在x∈[-3，-1]上恒成立．
因函数y=x+
-1在区间[-3，-1]上的最小值为-6，所以m＜-6．
当a＞1时，由a-ax＞0得x＜1，此时定义域为（-∞，1）．
（2）令y=loga（a-ax），则ay=a-ax，解得x=loga（a-ay），
所以f-1（x）=loga（a-ax）（a＞0，x＜1）
又因为函数y=loga（a-ax）（a＞0，x＜1）在定义域上单调递减，于是不等式f-1（x2-mx+4）＞f（x）在x∈[-3，-1]上恒成立等价于不等式x2-mx+4＜x在x∈[-3，-1]上恒成立．
由于x∈[-3，-1]，所以m＜
| x2-x+4 |
| x |
| 4 |
| x |
因函数y=x+
| 4 |
| x |
点评：本题以对数函数为载体，考查函数的定义域，考查恒成立问题的处理，考查分离参数法，考查利用基本不等式求最值．
练习册系列答案
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已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log
x，那么f（-
）的值是（ ）
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
A、
| ||
B、-
| ||
| C、2 | ||
| D、-2 |