Question

16．已知函数f（x）=x|x|．若对任意的x≥1有f（x+m）+mf（x）＜0，则实数m的取值范围是（-∞，-1]．

Answer 1

分析 讨论当m≥0时，不等式显然不成立；当m=-1时，恒成立；当m＜-1时，去绝对值，由二次函数的对称轴和区间的关系，运用单调性可得恒成立；当-1＜m＜0时，不等式不恒成立．

解答 解：由f（m+x）+mf（x）＜0得：
（x+m）|x+m|+mx²＜0，x≥1，
当m≥0时，即有（x+m）²+mx²＞0，在x≥1恒成立．
当m=-1时，即有（x-1）²-x²=1-2x＜-1＜0恒成立；
当m＜-1时，-m＞1，当x≥-m＞1，
即有（x+m）²+mx²=（1+m）x²+2mx+m²，
由1+m＜0，对称轴为x=$\frac{m}{1+m}$-＜1，则区间[-m，+∞）为减区间，
即有（1+m）x²+2mx+m²≤m³＜0恒成立；
当-1＜m＜0时，由x+m＞0，可得（x+m）²+mx²＜0不恒成立．
综上可得当m≤-1时，对任意的x≥1有f（x+m）+mf（x）＜0恒成立．
故答案为：（-∞，-1]．

点评 本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，考查二次函数的图形和性质，去绝对值和分类讨论是解题的关键，属于难题．