题目内容
【题目】设函数,
.
()当
时,求曲线
在点
处的切线方程.
()求函数
单调区间和极值点.
【答案】(1);(2)当
时,
的单调增区间为
,无极值,当
时,
的单调增区间是
和
,单调减区间为
,极大值为
,极小值为
.
【解析】试题分析:(1)当时,
,
,求出
的值可得切点坐标,求出
的值,可得切线斜率,利用点斜式可得曲线
在点
处的切线方程;(2)求出
,分两种情况讨论
的范围,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间,结合函数的单调性,可得函数的极值点.
试题解析:()当
时,
,
,∴
,
,∴曲线
在点
处的切线方程为
,即
.
()由
得
,
当时,
,
在
上是单调递增,无极值,
当时,令
得
或
,令
,得
,∴
在
和
上单调递增,在
上单调递减,∴
在
时取得极大值,
,
在
时取得极小值,
,综上所述,当
时,
的单调增区间为
,无极值,当
时,
的单调增区间是
和
,单调减区间为
,极大值为
,极小值为
.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与极值,属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是:(1)求出在
处的导数,即
在点
出的切线斜率(当曲线
在
处的切线与
轴平行时,在 处导数不存在,切线方程为
);(2)由点斜式求得切线方程
.
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