题目内容
【题目】设无穷数列的每一项均为正数,对于给定的正整数
,
(
),若
是等比数列,则称
为
数列.
(1)求证:若是无穷等比数列,则
是
数列;
(2)请你写出一个不是等比数列的数列的通项公式;
(3)设为
数列,且满足
,请用数学归纳法证明:
是等比数列.
【答案】(1)证明见解析.(2)(
).(答案不唯一).(3)证明见解析
【解析】
(1)通过证明,证得数列
是等比数列,由此证得
为
数列.
(2)根据满足的数列
是等比数列,但无穷数列
不是等比数列,举出相应的例子.
(3)首先根据已知条件得到,再利用数学归纳法证明
(或者利用数学归纳法证明
),由此证得
是等比数列.
(1)设是公比为
的等比数列,对于给定的正整数
,
(
),
∴,
,
又,∴
是等比数列,
∴为
数列.
(2)(
).(答案不唯一)
简洁的例子如:(
).
(3)∵为
数列,∴
是等比数列,其中
(
),
∴(
),
∴(
)是常数列,设常数为
,即
(
),
以下用数学归纳法证明(法一)(
),
①由已知可得:当
时命题成立;
②假设(
,
)时命题成立,即,
,
当时,∵
(
)是常数列,
∴(
,
),
∴,
等式也成立.
根据①和②可以断定,对任何
都成立,即
是等比数列.
令,以下用数学归纳法证明(法二)
(
),
①∵,∴
,∴
,∴
,即
,
∴当时命题成立,
假设(
,
)时命题成立,即
(
);
②当时,
,
等式也成立;
根据①和②可以断定,对任何
都成立,即
是等比数列.

【题目】某工厂计划建设至少3个,至多5个相同的生产线车间,以解决本地区公民对特供商品的未来需求.经过对先期样本的科学性调查显示,本地区每个月对商品
的月需求量均在50万件及以上,其中需求量在50~ 100万件的频率为0.5,需求量在100~200万件的频率为0.3,不低于200万件的频率为0.2.用调查样本来估计总体,频率作为相应段的概率,并假设本地区在各个月对本特供商品
的需求相互独立.
(1)求在未来某连续4个月中,本地区至少有2个月对商品的月需求量低于100万件的概率.
(2)该工厂希望尽可能在生产线车间建成后,车间能正常生产运行,但每月最多可正常生产的车间数受商品的需求量
的限制,并有如下关系:
商品 | |||
车间最多正常运行个数 | 3 | 4 | 5 |
若一个车间正常运行,则该车间月净利润为1500万元,而一个车间未正常生产,则该车间生产线的月维护费(单位:万元)与月需求量有如下关系:
商品 | ||
未正常生产的一个车间的月维护费(万元) | 500 | 600 |
试分析并回答该工厂应建设生产线车间多少个?使得商品的月利润为最大.