题目内容
【题目】给定数列,对
,该数列前
项的最大值记为
,后
项
的最小值记为
,
.
(1)设数列为3,4,7,5,2,写出
,
,
,
的值;
(2)设是
,公比
的等比数列,证明:
成等比数列;
(3)设,证明:
的充分必要条件为
是公差为
的等差数列.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析
【解析】
(1)可根据题意来逐步代入计算;(2)根据a1>0,公比q>1,可判断出数列{an}是一个单调递增的等比数列,则可逐步代入Ai与Bi的值进行计算,再证明出d1,d2,d3,…dn﹣1成等比数列.(3)先证充分性:因为m>0可得单增,则
,
可得
;再证必要性,先利用反证法说明数列
中不存在
使
,则可说明
,
,则得
,从而证得结论.
(1)由题意,可知:
①当i=1时,A1=3,B1=2,d1=A1﹣B1=3﹣2=1;
②当i=2时,A2=4,B2=2,d2=A2﹣B2=4﹣2=2;
③当i=3时,A3=7,B3=2,d3=A3﹣B3=7﹣2=5;
④当i=4时,A4=7,B4=2,d4=A4﹣B4=7﹣2=5.
(2)由题意,可知:
∵a1>0,公比q>1,
∴数列{an}是一个单调递增的等比数列.
∴①当i=1时,A1=a1,B1=a2,d1=A1﹣B1=a1﹣a2=a1(1﹣q);
②当i=2时,A2=a2,B2=a3,d2=A2﹣B2=a2﹣a3=a1(1﹣q)q;
③当i=3时,A3=a3,B3=a4,d3=A3﹣B3=a3﹣a4=a1(1﹣q)q2;
…
∴对,
.
因此且
,
∴为首项为a1(1﹣q),公比为q的等比数列.
(3)充分性:若是公差为
的等差数列,则
,
因为,
,
,
,
.
必要性:若,
.
假设是第一个使
的项,
则,这与
相矛盾,故
∴
,即
,故
是公差为
的等差数列.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某人有楼房一幢,室内总面积为,拟分割成两类房间作为旅游客房,有关的数据如下表:
大房间 | 小房间 | |
每间的面积 | ||
每间装修费 |
| 6000元 |
每天每间住人数 | 5人 | 3人 |
每天每人住宿费 | 80元 | 100元 |
如果他只能筹款80000元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各多少间,能获得的住宿总收入最多?每天获得的住宿总收入最多是多少?