Question

已知向量

a

=(cosx，4sinx-2)，

b

=(8sinx，2sinx+1)，x∈R，设函数f(x)=

a

•

b

（1）求函数f（x）的最大值；
（2）在△ABC中，A为锐角，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（A）=6，且△ABC的面积为3，b+c=2+3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式化简函数f（x）=

a

•

b

 的解析式为 4

2

sin（2x-

π

4

）+2，由此可得函数f（x）的最大值．
（2）由A为锐角，f（A）=6，求得sin（2A-

π

4

）=

2

2

，A=

π

4

．再根据△ABC的面积为3求得bc的值．再根据 b+c=2+3

2

，利用余弦定理求得a的值．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

a

•

b

=8sinxcosx+（4sinx-2）（2sinx+1）=4sin2x-4cos2x+2
=4

2

sin（2x-

π

4

）+2，
∴函数f（x）的最大值为 4

2

+2．
（2）在△ABC中，∵A为锐角，f（A）=6，∴4

2

sin（2A-

π

4

）+2=6，解得 sin（2A-

π

4

）=

2

2

，
∴A=

π

4

．
∴△ABC的面积为3=

1

2

•bc•sinA=

2

4

bc，∴bc=6

2

．
再根据 b+c=2+3

2

，
可得 a²=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-2bc-2bc×

2

2

=10，∴a=

10

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域、以及余弦定理的应用，属于中档题．