题目内容
已知椭圆C:
B(0,b).
(1)以AB为直径作圆M,连接MO并延长,与椭圆C的第三象限部分交于N,若直线NB是圆M的切线,求椭圆的离心率;
(2)已知三点D(4,0),E(0,3),G(4,3),若圆M与△DEG恰有一个公共点,求椭圆方程.

【答案】分析:(1)欲求椭圆的离心率,只需找到a,c的齐次式,根据直线NB是圆M的切线,则直线NB与直线AB垂直,斜率等于AB斜率的负倒数,得到直线NB的方程,再求出直线MO的方程,与直线NB联立,解为N点坐标,又因为N点在椭圆上,代入椭圆方程,即可得到含a,c的方程,解出离心率.
(2)圆M与△DEG恰有一个公共点,圆M与直线DE相切圆在直线DE的下方,由此可得两个含a,b的方程,解方程组可得.
解答:解:(1)∵A(a,0),B(0,b),∴M(
,
)
∴直线MO方程为y=
x
∵直线AB斜率为-
,直线NB是圆M的切线,∴直线NB的斜率为
∴直线NB方程为y=
x+b
由
得N(
,
)
又∵N点在椭圆上
,∴
化简,得2b4=(b2-a2)2
2a4-4a2c2+c4=0,∴e4-4e2+2=0
e2=2-
,∴e=
(2)∵圆M与△DEG恰有一个公共点,∴圆M与直线DE相切圆在直线DE的下方,
∴b=
a,
直线DE的方程为
,即3x+4y-12=0
∴
=
把b=
a代入,化简,得,a=2,∴b=
椭圆方程为
点评:本题考查了椭圆离心率的求法,以及椭圆与圆的综合问题,综合性强.
(2)圆M与△DEG恰有一个公共点,圆M与直线DE相切圆在直线DE的下方,由此可得两个含a,b的方程,解方程组可得.
解答:解:(1)∵A(a,0),B(0,b),∴M(



∴直线MO方程为y=

∵直线AB斜率为-


∴直线NB方程为y=

由



又∵N点在椭圆上


化简,得2b4=(b2-a2)2
2a4-4a2c2+c4=0,∴e4-4e2+2=0
e2=2-


(2)∵圆M与△DEG恰有一个公共点,∴圆M与直线DE相切圆在直线DE的下方,
∴b=

直线DE的方程为

∴


把b=


椭圆方程为

点评:本题考查了椭圆离心率的求法,以及椭圆与圆的综合问题,综合性强.

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