题目内容
已知椭圆C：
（a＞b＞0），直线l过点A（a，0）和B（0，b）．
（1）以AB为直径作圆M，连接MO并延长，与椭圆C的第三象限部分交于N，若直线NB是圆M的切线，求椭圆的离心率；
（2）已知三点D（4，0），E（0，3），G（4，3），若圆M与△DEG恰有一个公共点，求椭圆方程．
【答案】分析：（1）欲求椭圆的离心率，只需找到a，c的齐次式，根据直线NB是圆M的切线，则直线NB与直线AB垂直，斜率等于AB斜率的负倒数，得到直线NB的方程，再求出直线MO的方程，与直线NB联立，解为N点坐标，又因为N点在椭圆上，代入椭圆方程，即可得到含a，c的方程，解出离心率．
（2）圆M与△DEG恰有一个公共点，圆M与直线DE相切圆在直线DE的下方，由此可得两个含a，b的方程，解方程组可得．
解答：解：（1）∵A（a，0），B（0，b），∴M（
，
）
∴直线MO方程为y=
x
∵直线AB斜率为-
，直线NB是圆M的切线，∴直线NB的斜率为
∴直线NB方程为y=
x+b
由
得N（
，
）
又∵N点在椭圆上
，∴
化简，得2b4=（b2-a2）2
2a4-4a2c2+c4=0，∴e4-4e2+2=0
e2=2-
，∴e=
（2）∵圆M与△DEG恰有一个公共点，∴圆M与直线DE相切圆在直线DE的下方，
∴b=
a，
直线DE的方程为
，即3x+4y-12=0
∴
=
把b=
a代入，化简，得，a=2，∴b=
椭圆方程为
点评：本题考查了椭圆离心率的求法，以及椭圆与圆的综合问题，综合性强．
（2）圆M与△DEG恰有一个公共点，圆M与直线DE相切圆在直线DE的下方，由此可得两个含a，b的方程，解方程组可得．
解答：解：（1）∵A（a，0），B（0，b），∴M（
，）∴直线MO方程为y=
x∵直线AB斜率为-
，直线NB是圆M的切线，∴直线NB的斜率为∴直线NB方程为y=
x+b由
得N（，）又∵N点在椭圆上
，∴化简，得2b4=（b2-a2）2
2a4-4a2c2+c4=0，∴e4-4e2+2=0
e2=2-
，∴e=（2）∵圆M与△DEG恰有一个公共点，∴圆M与直线DE相切圆在直线DE的下方，
∴b=
a，直线DE的方程为
，即3x+4y-12=0∴
=把b=
a代入，化简，得，a=2，∴b=椭圆方程为
点评：本题考查了椭圆离心率的求法，以及椭圆与圆的综合问题，综合性强．
练习册系列答案
相关题目
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），离心率为
．
（O为坐标原点），求△AOB的面积；
（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点
．
，求点Q的轨迹方程．
（a＞b＞0）的一个顶点为A（2,0），离心率为
，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M、N.
时，求k的值.
+
=1(a＞b＞0)，直线y=x+
与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F1PF2的重心为G，内心为I，且IG∥F1F2。⑴求椭圆C的方程。⑵若直线L：y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同两点A，B且线段AB的垂直平分线过定点C(
，0)求实数k的取值范围。
（a>b>0）的离心率为
，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与椭圆C相交于A、B两点，若
。则
（ ） 
（D）