Question

【题目】设 .

（1）证明： 在上单调递减；

（2）若，证明： .

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接求导,证明0＜x＜1时, f(x)＜0 .(2)第（2）问，

分0＜a≤和＜a＜1两种情况证明，每一种情况都是先通过求单调性再求函数的最小值大于1.

试题解析：

（1）f(x)＝．

令h(x)＝1－－lnx，则h(x)＝，x＞0，

所以0＜x＜1时，h(x)＞0，h(x)单调递增，

又h(1)＝0，所以h(x)＜0，

即f(x)＜0，所以f(x)单调递减．

（2）g(x)＝axlna＋axa－1＝a(ax－1lna＋xa－1)，

当0＜a≤时，lna≤－1，所以ax－1lna＋xa－1≤xa－1－ax－1．

由（Ⅰ）得，所以(a－1)lnx＜(x－1)lna，即xa－1＜ax－1，

所以g(x)＜0，g(x)在(a，1)上单调递减，

即g(x)＞g(1)＝a＋1＞1．

当＜a＜1时，－1＜lna＜0．

令t(x)＝ax－xlna－1，0＜a＜x＜1，则t(x)＝axlna－lna＝(ax－1)lna＞0，

所以t(x)在(0，1)上单调递增，即t(x)＞t(0)＝0，

所以ax＞xlna＋1

所以g(x)＝ax＋xa＞xa＋xlna＋1＝x(xa－1＋lna)＋1＞x(1＋lna)＋1＞1．

综上，g(x)＞1．