题目内容
设数列{an},{bn}满足
,且bn=ln(1+an)
,n∈N*.
(1)证明:
;
(2)记{an2},{bn}的前n项和分别为An,Bn,证明:2Bn-An<8.
解:(1)由
知,an>0(n∈N*),故bn>0(n∈N*).
,
设函数
,则当x>0时,
,
∴f(x)在[0,+∞)上是增函数,
∴f(x)>f(0)=0,即bn-an>0,∴
∵
.
设函数g(x)=ln(1+x)-x(x≥0),则当x>0时,
,
∴g(x)在[0,+∞)上是减函数,故g(x)<g(0)=0,
∴ln(1+an)-an<0
综上得:
(2)由
得:
,
∴数列
是以1为首项,以为公比的等比数列,
∴
,
∵2bn-an2=2ln(1+an),由(1)的结论有ln(1+an)<an,
∴2bn-an2<2an,
∴
.
令Sn=
,则
,相减得:
,
∴
,
∴
分析:(1)可先证明
,由题意易知an>0(n∈N*),故bn>0(n∈N*),故只要证bn-an>0即可,
结合题目条件可利用构造函数证明.
,也可构造函数证明.
(2)由条件可得
,可求出an用错位相减法求出An,再结合(1)中的关系比较大小即可.
点评:本题考查函数单调性的应用:利用函数单调性证明数列不等式,构造函数需要较强的观察能力,难度较大,综合性强.


设函数


∴f(x)在[0,+∞)上是增函数,
∴f(x)>f(0)=0,即bn-an>0,∴

∵

设函数g(x)=ln(1+x)-x(x≥0),则当x>0时,

∴g(x)在[0,+∞)上是减函数,故g(x)<g(0)=0,
∴ln(1+an)-an<0
综上得:

(2)由


∴数列

∴

∵2bn-an2=2ln(1+an),由(1)的结论有ln(1+an)<an,
∴2bn-an2<2an,
∴

令Sn=



∴

∴

分析:(1)可先证明

结合题目条件可利用构造函数证明.

(2)由条件可得

点评:本题考查函数单调性的应用:利用函数单调性证明数列不等式,构造函数需要较强的观察能力,难度较大,综合性强.

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