题目内容

设数列{a_n}，{b_n}满足 $数学公式$ ，且b_n=ln（1+a_n） $数学公式$ ，n∈N*．
（1）证明： $数学公式$ ；
（2）记{a_n²}，{b_n}的前n项和分别为A_n，B_n，证明：2B_n-A_n＜8．

解：（1）由 $\text{[math]}$ 知，a_n＞0（n∈N*），故b_n＞0（n∈N*）． $\text{[math]}$ ，
设函数 $\text{[math]}$ ，则当x＞0时， $\text{[math]}$ ，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴f（x）＞f（0）=0，即b_n-a_n＞0，∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ．
设函数g（x）=ln（1+x）-x（x≥0），则当x＞0时， $\text{[math]}$ ，
∴g（x）在[0，+∞）上是减函数，故g（x）＜g（0）=0，
∴ln（1+a_n）-a_n＜0
综上得： $\text{[math]}$
（2）由 $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ ，
∴数列 $\text{[math]}$ 是以1为首项，以为公比的等比数列，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵2b_n-a_n²=2ln（1+a_n），由（1）的结论有ln（1+a_n）＜a_n，
∴2b_n-a_n²＜2a_n，
∴ $\text{[math]}$ ．
令S_n= $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，相减得： $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）可先证明 $\text{[math]}$ ，由题意易知a_n＞0（n∈N*），故b_n＞0（n∈N*），故只要证b_n-a_n＞0即可，
结合题目条件可利用构造函数证明． $\text{[math]}$ ，也可构造函数证明．
（2）由条件可得 $\text{[math]}$ ，可求出a_n用错位相减法求出A_n，再结合（1）中的关系比较大小即可．
点评：本题考查函数单调性的应用：利用函数单调性证明数列不等式，构造函数需要较强的观察能力，难度较大，综合性强．