Question

15．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-m}{{2}^{x}-1}$为奇函数，m∈R．
（1）求m的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（3）求函数f（x）在[-2，0）∪（0，3]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由f（x）为奇函数便可得到f（-1）=-f（1），这样即可求出m=-1；
（2）分离常数得到$f（x）=1+\frac{2}{{2}^{x}-1}$，根据单调性的定义可以看出f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递减，根据减函数的定义证明：定义域内设任意的x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式，便可得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$，根据指数函数的单调性即可判断出x₁，x₂∈（-∞，0），或x₁，x₂∈（0，+∞）时，f（x₁）＞f（x₂），从而得出f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递减；
（3）根据（2）便有f（x）在[-2，0），（0，3]上单调递减，从而可以得出f（x）≤f（-2），或f（x）≥f（3），这样便可得出f（x）在[-2，0）∪（0，3]上的值域．

解答 解：（1）f（x）为奇函数；
∴f（-1）=-f（1）；
即$\frac{\frac{1}{2}-m}{\frac{1}{2}-1}=-\frac{2-m}{2-1}$；
解得m=-1；
（2）$f（x）=\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}=1+\frac{2}{{2}^{x}-1}$，可以看出x增大时，2^x-1增大，∴f（x）减小；
∴f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递减，证明如下：
f（x）的定义域为{x|x≠0}，设x₁，x₂∈{x|x≠0}，且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}-1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}-1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0$；
∴①x₁，x₂∈（-∞，0）时，${2}^{{x}_{1}}-1＜0，{2}^{{x}_{2}}-1＜0$；
∴$（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
②x₁，x₂∈（0，+∞）时，${2}^{{x}_{1}}-1＞0，{2}^{{x}_{2}}-1＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递减；
（3）根据（2）知，f（x）在[-2，0），（0，3]上单调递减；
x从左边趋向0时，f（x）趋向负无穷，x从右边趋向0时，f（x）趋向正无穷；
∴$f（x）≤f（-2）=-\frac{5}{3}$，或$f（x）≥f（3）=\frac{9}{7}$；
∴f（x）在[-2，0）∪（0，3]上的值域为$（-∞，-\frac{5}{3}]∪[\frac{9}{7}，+∞）$．

点评 考查奇函数的定义，根据单调性的定义判断一个函数的单调性的方法，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁）与f（x₂），作差后是分式的一般要通分，以及指数函数的单调性．