Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

2

2

，过右焦点F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，当直线l的斜率为1时，坐标原点O到直线l的距离为

2

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，椭圆C上是否存在点P，使得当直线l绕点F转到某一位置时，有

OP

=

OA

+

OB

成立？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标及对应的直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由O到直线l的距离为

2

2

，l：y=x-c，知

|c|

2

=

2

2

，c=1．由e=

2

2

，知a=

2

，b²=1．由此能求出椭圆C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）设y=k（x-1）（k≠0）由

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．由此能求出求出所有满足条件的点P的坐标及对应的直线方程．

解答：解：（1）∵O到直线l的距离为

2

2

，l：y=x-c，
∴

|c|

2

=

2

2

，∴c=1．
∵e=

2

2

，∴a=

2

，∴b²=1．
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）设y=k（x-1）（k≠0）
由

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

，消去y得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴x1+x2=

4k2

1+2k2

，
∴y1+y2=k(x1+x2-2)=k(

4k2

1+2k2

-2)=

-2k

1+2k2

．
∵

OP

=

OA

+

OB

，
∴x₀=x1+x2=

4k2

1+2k2

，
∴y₀=y1+y2=

-2k

1+2k2

．
将P点坐标代入椭圆得

( 4k2 1+2k2 )2

2

+(

-2k

1+2k2

)2=1，
∴k4=

1

4

，∴k2=

1

2

，k=±

2

2

．
当k=

2

2

时，P(1，-

2

2

)，直线l：y=

2

2

(x-1)，
当k=-

2

2

时，P(1，

2

2

)，直线l：y=-

2

2

(x-1)．

点评：本题考查椭圆C的方程的求法，探究椭圆C上是否存在点P，使得当直线l绕点F转到某一位置时，有

OP

=

OA

+

OB

成立．若存在，求出所有满足条件的点P的坐标及对应的直线方程；若不存在，请说明理由．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．