题目内容

已知点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π．
（1）若 $数学公式$ ，求sin2α的值；
（2）若 $数学公式$ ，求 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的夹角．

解：（1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
（2）由 $\text{[math]}$ 得（2+cosα）²+sin²α=7，∴ $\text{[math]}$ ，
又α∈（0，π），∴ $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，得到 $\text{[math]}$ ，平方可以求得sin2α的值．
（2）由 $\text{[math]}$ 得（2+cosα）²+sin²α=7，求得 $\text{[math]}$ ，再根据α的范围求出α的值，从而求得
$\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角．
点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求向量的模的方法，根据三角函数的值求角，求得 $\text{[math]}$ ，是解题的关键．

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