Question

已知幂函数f（x）的图象经过点（

1

8

，

2

4

），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：
①x₁f（x₁）＞x₂f（x₂）；
②x₁f（x₁）＜x₂f（x₂）；
③

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

；
④

f(x1)

x1

＜

f(x2)

x2

．
其中正确结论的序号是（　　）

• A、①②
• B、①③
• C、②④
• D、②③

Answer 1

分析：设f（x）=x^α，把点（

1

8

，

2

4

）代入函数的解析式求出α，得到 f（x）=x

1

2

，
利用函数在其定义域[0，+∞）内单调 递增，且增长速度越来越慢，结合函数图象作答．

解答：解析：依题意，设f（x）=x^α，则有（

1

8

）^α=

2

4

，即（

1

8

）^α=(

1

8

)

1

2

，所以，α=

1

2

，于是f（x）=x

1

2

．
由于函数f（x）=x

1

2

在定义域[0，+∞）内单调递增，
所以当x₁＜x₂时，必有f（x₁）＜f（x₂），从而有x₁f（x₁）＜x₂f（x₂），故②正确；
又因为

f(x1)

x1

，

f(x2)

x2

分别表示直线OP、OQ的斜率，结合函数图象，
容易得出直线OP的斜率大于直线OQ的斜率，故

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

，所以③正确，
故选 D．

点评：本题考查幂函数的定义和性质，注意①②中只能一个正确，③④中只能一个正确．