题目内容

已知数列{a_n}中a₁=2， $数学公式$ ，数列{b_n}中 $数学公式$ ，其中 n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）设S_n是数列{ $数学公式$ }的前n项和，求 $数学公式$ ；
（Ⅲ）设T_n是数列 $数学公式$ 的前n项和，求证： $数学公式$ ．

解：（Ⅰ） $\text{[math]}$ ，而　 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．n∈N^*
∴{b_n}是首项为 $\text{[math]}$ ，公差为1的等差数列．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=n， $\text{[math]}$ ，
于是 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故有 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
=6 $\text{[math]}$ ．（9分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可知　 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ．∴ $\text{[math]}$ ．
则 $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴T_n= $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（Ⅰ）由条件可得 $\text{[math]}$ ，再由 $\text{[math]}$ ，从而得到 $\text{[math]}$ ，由此证得结论
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=n，于是 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，用裂项法求出 $\text{[math]}$ 的值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知　 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求出T_n的解析式，可得 $\text{[math]}$ T_n 的解析式，用错位相减法求出T_n的解析式，
从而可得要证的不等式成立．
点评：本题主要考查等差关系的确定，等比数列的前n项和公式的应用，用裂项法、错位相减法对数列求和，数列与不等式的综合应用，属于中档题．