Question

9．如图，五面体ABCDFE中，△ABE是边长为2的等边三角形，AD∥BC∥EF，AD=EF=2BC=2，AD⊥平面ABE．
（1）求证：平面ABF⊥平面CDE；
（2）求二面角A-EF-C的大小．

Answer 1

分析 （1）取BE中点O，CF中点M，连接OA，OM，根据已知条件容易说明OE，OM，OA三直线两两垂直，从而可分别以这三条直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，根据已知的边的长度可求出A，B，C，D，F，E六点的坐标．能够说明四边形ADFE为正方形，从而AF⊥DE，求数量积$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CD}$=0，从而AF⊥CD，根据线面垂直及面面垂直的判定定理即可证明平面ABF⊥平面CDE；
（2）显然$\overrightarrow{OA}$为平面CEF的法向量，可设平面AEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$可求出$\overrightarrow{n}$，可设二面角A-EF-C的大小为θ，从而根据cosθ=$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{OA}＞$即可求出θ．

解答 解：（1）证明：取BE中点O，CF中点M，连接AO，MO，则MO∥BC；
∵△ABE为等边三角形，∴AO⊥BE；
∵AD⊥平面ABE，BC∥AD；
∴BC⊥平面ABE；
∴平面BCFE⊥平面ABE，平面BCFE∩平面ABE=BE；
∴AO⊥平面BCFE；
又MO∥BC，∴MO⊥平面ABE；
∴OE，OM，OA三条直线两两垂直，所以分别以这三条直线为x，y，z轴建立如下图所示空间直角坐标系，则：

O（0，0，0），A（0，0，$\sqrt{3}$），B（-1，0，0），C（-1，1，0），D（0，2，$\sqrt{3}$），E（1，0，0），F（1，2，0）；
根据已知条件知四边形ADFE为正方形；
AF⊥DE；
$\overrightarrow{AF}=（1，2，-\sqrt{3}），\overrightarrow{CD}=（1，1，\sqrt{3}）$；
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CD}=0$；
∴$\overrightarrow{AF}⊥\overrightarrow{CD}$；
∴AF⊥CD，DE∩CD=D；
∴直线AF⊥平面CDE，AF?平面ABF；
∴平面ABF⊥平面CDE；
（2）由上面知$\overrightarrow{OA}$为平面CEF的一条法向量，且$\overrightarrow{OA}=（0，0，\sqrt{3}）$；
设平面AEF的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{EA}，\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{EF}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$；
$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}z=0}\\{2y=0}\end{array}\right.$，取z=1，∴$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，0，1）$；
设二面角A-EF-C的大小为θ，则：
cosθ=cos$＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{n}＞$═$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$；
∴$θ=\frac{π}{3}$；
∴二面角A-EF-C的大小为$\frac{π}{3}$．

点评 考查平行线中一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，面面垂直的判定定理及其性质定理，正方形的对角线互相垂直，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量证明面面垂直，以及求二面角的方法，非零向量相互垂直的充要条件，线面垂直的判定定理，平面法向量的概念及求法，向量夹角余弦的坐标公式，二面角的概念．