Question

20．已知函数f（x）=x-1-2lnx，g（x）=e^x-x-b．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若对任意的${x_1}∈{R^+}$存在x₂∈R，使f（x₁）≥g（x₂），求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，注意函数的定义域；
（2）求出g（x）的导数，求得单调区间，可得g（x）的最小值，由（1）可得f（x）的最小值，再由题意可得1-2ln2≥1-b，即可得到b的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=x-1-2lnx的导数为f′（x）=1-$\frac{2}{x}$（x＞0），
由f′（x）＞0解得x＞2，由f′（x）＜0解得0＜x＜2．
即有f（x）的增区间为（2，+∞），减区间为（0，2）；
（2）g（x）=e^x-x-b的导数为g′（x）=e^x-1，
x＞0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增；
x＜0时，g′（x）＜0，g（x）在（-∞，0）递减．
即有g（x）_min=g（0）=1-b，
由（1）可得f（x）_min=f（2）=1-2ln2，
对任意的${x_1}∈{R^+}$，存在x₂∈R，使f（x₁）≥g（x₂），
则1-2ln2≥1-b，解得b≥2ln2．
则实数b的取值范围是[2ln2，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查不等式的解法和不等式恒成立、存在性问题转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题．