Question

17．设函数f（x）=1+$\frac{1}{x}$．
（1）用定义证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）求函数f（x）在x∈[2，6]上的值域．

Answer 1

分析 （1）设0＜x₁＜x₂，然后通过作差判断f（x₁）和f（x₂）的大小关系即可．
（2）函数在x∈[2，6]上也为减函数，即可求函数f（x）在x∈[2，6]上的值域．

解答 解：（1）设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，---------（1分）
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$--------（4分）
∵0＜x₁＜x₂
∴x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数------（8分）
（2）由（1）知f（x）在（0，+∞）上为减函数，∴在x∈[2，6]上也为减函数．----（10分）
∵f（2）=$\frac{3}{2}$，f（6）=$\frac{7}{6}$，
∴函数f（x）在x∈[2，6]上的值域是[$\frac{7}{6}$，$\frac{3}{2}$]．---------（12分）

点评 此题主要考查函数的单调性的判断与证明，属于基础题．