题目内容
14.已知在棱长为6正四面体ABCD中,E为AD的中点.(1)求二面角A-CD-B的余弦值;
(2)求点E到平面BCD的距离.
分析 (1)先作出二面角A-CD-B的平面角,再利用余弦定理求解即可;
(2)作AO⊥平面BCD,求出AO,即可求点E到平面BCD的距离.
解答 解:(1)取CD的中点F,连接AF,BF,
∵四面体ABCD是正四面体,
∴AF⊥CD,且BF⊥CD,
∴∠AFB即为二面角A-CD-B的平面角,
又∵四面体ABCD的棱长为6,
则AF=BF=3$\sqrt{3}$,
则cos∠AEB=$\frac{A{E}^{2}+B{E}^{2}-A{B}^{2}}{2AE•BE}$=$\frac{1}{3}$;
(2)作AO⊥平面BCD,则OF=$\sqrt{3}$,
∴OA=$\sqrt{(3\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}$=2$\sqrt{6}$,
∵E为AD的中点,
∴点E到平面BCD的距离$\sqrt{6}$.
点评 本题考查二面角的平面角,考查余弦定理,考查点E到平面BCD的距离,正确作出二面角的平面角是关键.
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