Question

19．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足$a_{n+1}^2=2{S_n}+n+4，且{a_2}-1，{a_3}，{a_7}$恰为等比数列{b_n}的前3项．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若${c_n}={b_n}+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等比数列的前n项和公式、“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵${a}_{n+1}^{2}$=2S_n+n+4，
∴当n≥2时，${a}_{n}^{2}$=2S_n-1+n+3，
${a}_{n+1}^{2}-{a}_{n}^{2}$=2a_n+1，
化为${a}_{n+1}^{2}$=$（{a}_{n}+1）^{2}$，
∵各项均为正数，
∴a_n+1=a_n+1，即a_n+1-a_n=1，
∴数列{a_n}是等差数列，公差为1．
∴a_n=a₁+n-1．
∵a₂-1，a₃，a₇恰为等比数列{b_n}的前3项．
∴${a}_{3}^{2}$=（a₂-1）a₇，
∴$（{a}_{1}+2）^{2}$=a₁•（a₁+6），
化为2a₁=4．
解得a₁=2．
∴a_n=n+1，
∴等比数列{b_n}的首项为2，公比为2．
∴b_n=2ⁿ．
（2）${c_n}={b_n}+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=2ⁿ+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$+$[（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）]$
=2ⁿ⁺¹-2+$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$
=2ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+2}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．