Question

【题目】如图，菱形与等边所在的平面相互垂直， ，点E，F分别为PC和AB的中点．

（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD

（Ⅱ）证明： ；

（Ⅲ）求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）.

【解析】试题分析：（I）设的中点，连结和，由中位线定理可得，从而四边形为平行四边形， ，由线面平行的判定定理可得结论；（Ⅱ）由为等边三角形得，由四边形为菱形，可得，从而平面，进而可得结论；（Ⅲ）根据“等积变换”可得，由面面垂直的性质可得平面，∴为三棱锥的高，根据棱锥的体积公式可得结果.

试题解析：（Ⅰ）取PD的中点G，连结GE和GA，

则， ∴

∴四边形AFEG为平行四边形，∴

∵平面PAD,EF平面PAD

∴EF∥平面PAD

（Ⅱ）取中点，连结，

因为为等边三角形，所以．

因为四边形为菱形，所以，

又因为，所以为等边三角形，

所以．

因为，所以平面，

因为平面，所以．

（Ⅲ）连结FC，∵PE=EC，∴

∵四边形为菱形，且，

∴

∵平面平面，平面平面， 平面，

∴平面，

∴为三棱锥的高．

∴，

∴．

∴

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的性质、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.