题目内容
(本小题12分)已知函数(
为常数)是实数集
上的奇函数,函数
是区间[-1,1]上的减函数.
(I)求的值;
(II)若在
及
所在的取值范围上恒成立,求
的取值范围;
(Ⅲ)讨论关于的方程
的根的个数.
【答案】
∴
,
(I)=0
(II)
(Ⅲ)①当时,方程无解.
②当时,方程有一个根.
③当时,方程有两个根.
【解析】解:(Ⅰ)是奇函数,则
恒成立.
∴
即
∴
(II)由(I)知∴
∴
又在[-1,1]上单调递减,
∴
且对
[-1,1]恒成立,
即对
[-1,1]恒成立,
∴
∵ 在
上恒成立
∴
即对
恒成立
令则
|


.
(Ⅲ)由(I)知
令,
,
当上为增函数;
上为减函数,
当时,
而
,
、
在同一坐标系的大致图象如图所示,
∴①当时,方程无解.
②当时,方程有一个根.
③当时,方程有两个根.

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