题目内容

设函数f（x）对x≠0的任意实数，恒有 $数学公式$ 成立．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用函数单调性的定义证明函数f（x）在 $数学公式$ 上是增函数．

（1）解：由f（x）-2 $\text{[math]}$ ，①
得 $\text{[math]}$ ，②（2分）
①+②×②，得-3f（x）=x²+ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．（4分）
（2）证明：任取0＜x₁＜x₂≤ $\text{[math]}$ ．（6分）
$\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （8分）
∵0＜x₁＜x₂≤ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
而x₁x₂＞0，x₁²x₂²＞0，
∴ $\text{[math]}$ ．（10分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（0， $\text{[math]}$ ]上是增函数．（12分）
分析：（1）由f（x）-2 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，由此能求出函数f（x）的解析式．
（2）任取0＜x₁＜x₂≤ $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由0＜x₁＜x₂≤ $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，由此能够证明f（x）在（0， $\text{[math]}$ ]上是增函数．
点评：本题考查函数的恒成立问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．

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