题目内容
设函数f（x）对x≠0的任意实数，恒有f(x)-2f(
)=x2+1成立．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用函数单调性的定义证明函数f（x）在(0，
]上是增函数．
| 1 |
| x |
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用函数单调性的定义证明函数f（x）在(0，
| 4 | 2 |
分析：（1）由f（x）-2f(
) =x2+1，得f(
) -2f(x)=
+1，由此能求出函数f（x）的解析式．
（2）任取0＜x1＜x2≤
．f(x1) -f(x2) =-
(x12+
)+
(x22+
)=
(x22-x12)•
，由0＜x1＜x2≤
，得
(x22-x12)•
＜0，由此能够证明f（x）在（0，
]上是增函数．
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
（2）任取0＜x1＜x2≤
| 4 | 2 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| x12 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| x22 |
| 1 |
| 3 |
(x1x2+
| ||||
| x12x22 |
| 4 | 2 |
| 1 |
| 3 |
(x1x2+
| ||||
| x12x22 |
| 4 | 2 |
解答：（1）解：由f（x）-2f(
) =x2+1，①
得f(
) -2f(x)=
+1，②（2分）
①+②×②，得-3f（x）=x2+
+3．
∴f(x)=-
(x2+
)-1．（4分）
（2）证明：任取0＜x1＜x2≤
．（6分）
f(x1) -f(x2) =-
(x12+
)+
(x22+
)
=
[(x22-x12)+
]
=
(x22 -x12)(1-
)
=
(x22-x12)•
（8分）
∵0＜x1＜x2≤
，
∴x12＜x22，0＜x1x2＜
．
而x1x2＞0，x12x22＞0，
∴
(x22-x12)•
＜0．（10分）
∴f（x1）-f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，
]上是增函数．（12分）
| 1 |
| x |
得f(
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
①+②×②，得-3f（x）=x2+
| 2 |
| x2 |
∴f(x)=-
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| x2 |
（2）证明：任取0＜x1＜x2≤
| 4 | 2 |
f(x1) -f(x2) =-
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| x12 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| x22 |
=
| 1 |
| 3 |
| 2(x12-x22) |
| x12x22 |
=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| x12x22 |
=
| 1 |
| 3 |
(x1x2+
| ||||
| x12x22 |
∵0＜x1＜x2≤
| 4 | 2 |
∴x12＜x22，0＜x1x2＜
| 2 |
而x1x2＞0，x12x22＞0，
∴
| 1 |
| 3 |
(x1x2+
| ||||
| x12x22 |
∴f（x1）-f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，
| 4 | 2 |
点评：本题考查函数的恒成立问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．
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