题目内容
（2006•石景山区一模）设函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，使|f（x）|≤m|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数．给出下列函数：
①f（x）=0；
②f（x）=x2；
③f（x）=
（sinx+cosx）；
④f（x）=
；
⑤f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1、x2均有|f（x1）-f（x2）|≤2|x1-x2|．
其中是F函数的序号为
①f（x）=0；
②f（x）=x2；
③f（x）=
| 2 |
④f（x）=
| x |
| x2+x+1 |
⑤f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1、x2均有|f（x1）-f（x2）|≤2|x1-x2|．
其中是F函数的序号为
①④⑤
①④⑤
．分析：根据F函数的定义进行判定：对于①可以利用定义直接加以判断；②利用新定义|f（x）|≤M|x|，|x|≤M，对其进行判断；③利用特殊值法进行判断，令x=0进行判断；对于④，需要通过讨论，将不等式变形为|
|≤m，可以求出符合条件的m的最小值，从而求解；⑤f（x）是定义在实数集R上的奇函数，故|f（x）|是偶函数，可以求出M的范围，从而求解；
| 1 |
| x2+x+1 |
解答：解：对于①f（x）=0，显然对任意常数m＞0，均成立，故f（x）为F函数，故①正确；
②f（x）=x2，|f（x）|=|x2|≤M|x|，即|x|≤M，不存在这样的M对一切实数x均成立，故②不是F函数．
③f（x）=
（sinx+cosx），由于x=0时，若|f（x）|≤M|x|成立，则可得
≤0不成立，故③错误；
④若f（x）=
，则|f（x）|=|
|=
≤
|x|，故对任意的m＞
，都有|f（x）|＜m|x|，故其是F函数，故④正确；
⑤f（x）是定义在实数集R上的奇函数，故|f（x）|是偶函数，
因而由|f（x1）-f（x2）|≤2|x1-x2|得到，|f（x）|≤|x|成立，存在M≥2＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，符合题意，故⑤正确．
故答案为：①④⑤；
②f（x）=x2，|f（x）|=|x2|≤M|x|，即|x|≤M，不存在这样的M对一切实数x均成立，故②不是F函数．
③f（x）=
| 2 |
| 2 |
④若f（x）=
| x |
| x2+x+1 |
| x |
| x2+x+1 |
| |x| | ||||
(x+
|
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
⑤f（x）是定义在实数集R上的奇函数，故|f（x）|是偶函数，
因而由|f（x1）-f（x2）|≤2|x1-x2|得到，|f（x）|≤|x|成立，存在M≥2＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，符合题意，故⑤正确．
故答案为：①④⑤；
点评：本题主要考查学生的阅读理解能力．知识点方面主要考查了函数的最值及其几何意义，综合性较强．
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