题目内容
已知正方形ABCD的边长为2，
，
将正方形ABCD沿对角线BD折起，使
，得到三棱锥
，如图所示。
（1）当a=2时，求证：
平面BCD；
（2）当二面角
的大小为
时，
求二面角
的正切值。
，将正方形ABCD沿对角线BD折起，使
，得到三棱锥，如图所示。（1）当a=2时，求证：
平面BCD；（2）当二面角
的大小为时，求二面角
的正切值。（1）见解析；（2）
.
.本试题主要考查了立体几何中的二面角的求解线面垂直的证明。
（1）证明：根据题意，在
中，
，
所以
2分
因为AC、BD是正方形ABCD的对角线，所以
因为
所以
4分
（2）解：由（1）知，
，以O为原点，OC，OD所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则
.
设
6分
又设平面ABD的法向量为
，
则
所以
所以
8分
因为平面BCD的一个法向量
且二面角A-BD-C的大小为，
所以
，因为
解得
。 9分
设平面ABC的法向量为
令
所以
10分
设二面角A-BC-D的平面角为
，
所以
所以
所以二面角A-BC-D的正切值为. 12分
（1）证明：根据题意，在
中，，所以
2分因为AC、BD是正方形ABCD的对角线，所以
因为
所以 4分（2）解：由（1）知，
，以O为原点，OC，OD所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则.设
6分又设平面ABD的法向量为
，则
所以
所以 8分因为平面BCD的一个法向量
且二面角A-BD-C的大小为，所以
，因为解得
。 9分设平面ABC的法向量为
令所以
10分设二面角A-BC-D的平面角为
，所以
所以所以二面角A-BC-D的正切值为
. 12分
练习册系列答案
相关题目
中，
底面
，
，
，
是
的中点。
平面
（4分）
的余弦值为
，求直线
与平面
所成角的正弦值．（8分）
中，
，
．棱
上有两个动点E，F，且EF = a (a为常数)．
的长、宽、高分别为3、2、1，则从A到
沿长方体的表面的最短距离为（ ）
，则球O的表面积为( )
B、
C、
D、
中, 
是
的中点
∥平面
；
∥平面
为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是
，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为 。