题目内容
【题目】已知三棱锥
的所有棱长都相等，若
与平面
所成角等于
，则平面
与平面所成角的正弦值的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
设出三棱锥
的边长，设
是
的中点，求得
和
，由此判断出
.设平面
与平面
所成二面角的平面角为
，由
和
，结合三角函数恒等变换，求得
的取值范围，由此得出正确选项.
如图，在三棱锥中，是的中点，不妨设其边长为2，则
，∴
.根据余弦定理，有
，∴
，∴.由题可知当平面与平面所成二面角的平面角取最值时，平面
平面
.
当最小时，
与平面所成角为
，则与平面的法向量
所成角为
，∴
与所成角为
，而平面与平面所成角为，∴
；
当最大时，与平面所成角为，则与平面的法向量
所成角为∴与所成角为
，而平面与平面所成角为，∴
.
∴平面与平面所成角的正弦值的取值范围为
.
故选：A.
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