题目内容
设
，
，
都是单位向量，且
与
的夹角为
π，则(
-
)•(
-
)的最小值为
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| 2 |
| 3 |
| c |
| a |
| c |
| b |
-
| 1 |
| 2 |
-
．| 1 |
| 2 |
分析：根据单位向量
与
的夹角为
π算出
的
数量积，进而得到|
+
|=1．由此结合向量数量积的运算性质得(
+
)•
≤|
+
|•|
|=1，再将展开化简得(
-
)•(
-
)=
-(
+
)•
，因此可得(
-
)•(
-
)的最小值．
| a |
| b |
| 2 |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
| c |
| a |
| c |
| b |
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
| c |
| c |
| a |
| c |
| b |
解答：解：∵单位向量
与
的夹角为
π，∴
•
=|
|•|
|cos
π=-
可得(
+
)2=
2+2
•
+
2=1+2×（-
）+1=1
∴|
+
|=1
因此，(
+
)•
=|
+
|•|
|•cosθ≤|
+
|•|
|=1
∵(
-
)•(
-
)=
2-（
+
）•
+
•
=1-（
+
）•
+（-
）=
-(
+
)•
∴(
-
)•(
-
)≥
-1=-
，
当且仅当
+
与
共线方向相同时，(
-
)•(
-
)的最小值为-
故答案为：-
| a |
| b |
| 2 |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
可得(
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
| 1 |
| 2 |
∴|
| a |
| b |
因此，(
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
∵(
| c |
| a |
| c |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| a |
| b |
| c |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
| c |
∴(
| c |
| a |
| c |
| b |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当且仅当
| a |
| b |
| c |
| c |
| a |
| c |
| b |
| 1 |
| 2 |
故答案为：-
| 1 |
| 2 |
点评：本题给出3个单位向量中的两个夹角为
，求(
-
)•(
-
)的最小值．着重考查了平面向量数量积计算公式、模的计算公式及其运算性质等知识，属于中档题．
| 2π |
| 3 |
| c |
| a |
| c |
| b |
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