Question

给出下列命题：
①y=1是幂函数；
②函数f（x）=2^x-log₂x的零点有1个；
③实数a=0.2 

2

，b=log 

2

0.2，c=

2

0.2的大小关系是b＜c＜a．
④设

a

，

b

，

c

，是单位向量，且

a

•

b

=0，则（

a

-

c

）•（

b

-

c

）的最大值为1+

2

          
⑤函数y=x+

1

x-1

（x≥3）的最小值为3．
其中真命题的序号是

④

（把你认为正确命题的序号都填上）．

Answer 1

分析：①根据幂函数的定义知，y=1是常数函数，不是幂函数；②函数f（x）=2^x-log₂x的零点个数即为函数y=2^x与y=log₂x的图象的交点个数，在同一坐标系中画出它们的图象即可；③由0＜a=0.2 

2

＜1，b=log 

2

0.2＜0；④由题设条件推导出|

a

+

b

|=

2

．由此得到（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=

a

•

b

-（

a

+

b

）•

c

+

c

2=1-

2

cos＜

a

+

b

，

c

＞，从而能判断④的正误；
⑤利用函数单调性进行判断．

解答：解：在①中，y=1是常数函数，不是幂函数．故①错误；
②由函数图象知：函数f（x）=2^x-log₂x没有零点，故②错误；
③∵0＜a=0.2 

2

＜0.2⁰=1，b=log 

2

0.2＜log

2

1=0，
c=

2

0.2＞

2

0=1，
∴b＜a＜c，故③错误；
④∵

a

、

b

、

c

是单位向量，

a

•

b

=0，∴

a

⊥

b

，|

a

+

b

|=

2

．
∴（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=

a

•

b

-（

a

+

b

）•

c

+

c

²=0-（

a

+

b

）•

c

+1=1-|

a

+

b

|•|

c

|cos＜

a

+

b

，

c

＞
=1-

2

cos＜

a

+

b

，

c

＞≤1+

2

，故④正确；
⑤∵函数y=x+

1

x-1

=（x-1）+

1

x-1

+1在[3，+∞）上是增函数，
∴当x=3时，函数y=x+

1

x-1

（x≥3）取最小值

7

2

，故⑤错误．
故答案为：④．

点评：此题是个基础题．考查幂函数的概念，零点的求法，平面向量问题等基础知识，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．