Question

下列命题正确的是（　　）

• A、已知p：

  1

  x+1

  ＞0，则^p：

  1

  x+1

  ≤0
• B、在ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，则a＞b是cosA＜cosB的充要条件
• C、命题p：对任意的x∈R，x²+x+1＞0，则?p：对任意的x∈R，x²+x+1≤0
• D、存在实数x∈R，使sinx+cosx=

  π

  2

  成立

Answer 1

分析：选项A根据命题的否定求解可知不正确，选项B，因为A、B是三角形的内角，所以A、B∈（0，π），在（0，π）上，y=cosx是减函数．由此知△ABC中，“A＞B”?“cosA＜cosB”，即可得答案．选项C，根据命题“对任意的x∈R，x²+x+1＞0”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案．选项D，sinx+cosx的最大值为

2

，而

π

2

＞

2

，从而可得结论．

解答：解：选项A，p：x＞-1，则?p：x≤-1，而

1

1+x

≤0的解集是x＜-1，故不正确；
选项B，∵A、B是三角形的内角，∴A∈（0，π），B∈（0，π），
∵在（0，π）上，y=cosx是减函数，∴△ABC中，“A＞B”?“cosA＜cosB”，故正确；
选项C，全称性量词的否定需改成对应的特称量词；
选项D，sinx+cosx的最大值为

2

，而

π

2

＞

2

，故不正确．
故选B．

点评：本题考查充要条件的性质和应用，解题时要注意余弦函数单调性的合理运用，全称命题与特称命题的相互转化．要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．