Question

如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.

（1）求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
（2）求MN的长；
（3）求异面直线AN与CM所成角的余弦值.

Answer 1

（1）证明略（2）MN的长为a. （3）异面直线AN与CM所成角的余弦值为

（1）设=p, =q，=r.
由题意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.
=-=（+）-
=（q+r-p），                                                         2分
∴·=（q+r-p）·p
=（q·p+r·p-p²）
=（a²·cos60°+a²·cos60°-a²）=0.
∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD.                                              4分
（2）由（1）可知=（q+r-p）
∴||²=²=（q+r-p）²                                                6分
=［q²+r²+p²+2（q·r-p·q-r·p）］
=[a²+a²+a²+2（--）
=×2a²=.
∴||=a,∴MN的长为a.                                            10分
(3) 设向量与的夹角为.
∵=(+)=(q+r),
=-=q-p,
∴·=（q+r）·（q-p）
=（q²-q·p+r·q-r·p）
=(a²-a²·cos60°+a²·cos60°-a²·cos60°)
=（a²-+-）=.                                            12分
又∵||=||=，
∴·=||·||·cos
=··cos=.
∴cos=，                                                          14分
∴向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.