题目内容
【题目】在数列{an}中，a1=2，an+1=4an﹣3n+1，n∈N*（Ⅰ）证明：数列{an﹣n}是等比数列
（Ⅱ）记数列{an}的前n项和为Sn ， 求证：Sn+1≤4Sn ， 对任意n∈N*成立．
【答案】证明：（I）∵an+1=4an﹣3n+1，∴an+1﹣（n+1）=4（an﹣n），a1﹣1=1． ∴数列{an﹣n}是等比数列，首项为1，公比为4．
（II）由（I）可得：an﹣n=4n﹣1 ， 解得an=n+4n﹣1 ，
Sn= 
+ 
= + 
．
Sn+1= 
+ 
．
∴4Sn﹣Sn+1=4× +4× ﹣ ﹣ = 
﹣1= 
≥0．
∴Sn+1≤4Sn ， 对任意n∈N*成立．
【解析】（I）由an+1=4an﹣3n+1，变形an+1﹣（n+1）=4（an﹣n），a1﹣1=1．即可证明．（II）由（I）可得：an﹣n=4n﹣1 ， 解得an=n+4n﹣1 ， 利用等差数列与等比数列的求和公式可得：Sn ， Sn+1 ． 作差4Sn﹣Sn+1即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等比数列的通项公式（及其变式）的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握通项公式：
．
练习册系列答案
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【题目】随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 |
时间代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
储蓄存款y（千亿元） | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
（Ⅰ）求y关于t的回归方程 
= 
t+ 
．
（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（t=6）的人民币储蓄存款．
附：回归方程 = t+ 中
．
