题目内容

(本小题满分13分)

已知三次函数的导函数为实数。

(1)若曲线在点()处切线的斜率为12,求的值;

(2)若在区间上的最小值、最大值分别为和1,且,求函数的解析式。

 

【答案】

(Ⅰ)  ;(Ⅱ) = 。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。求解曲线的切线方程和函数的极值以及函数的最值的综合运用。

(1)利用导数的几何意义表述出切线的斜率,就是导数值,然后得到结论。

(2)利用已知关系式求解导数得到导数为正或者为负时的解集,得到单调区间,进而分析最值问题的运算。

解析:(Ⅰ)由导数的几何意义=12  ……………1分

      ∴   ∴  …………………4分

(Ⅱ)∵  

                ……6分

 得

[-1,1],

∴ 当[-1,0)时,递增;

(0,1]时,递减。……………9分

在区间[-1,1]上的最大值为

,∴ =1 ……………………11分

 ∴ 是函数的最小值,

  ∴

=  ………………13分

 

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