题目内容

对于四面体ABCD ，给出下列四个命题：①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD;②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD;③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD;④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD.其中真命题的序号是__________（写出所有真命题的序号）.

①④?

解析：①为真命题，证明如下：如图，取BC中点M，连结AM、DM.?

由AB=AC，DB=DC，得AM⊥BC，DM⊥BC.?

故BC⊥面AMD，BC⊥AD.所以命题①为真命题.?

④为真命题，证明如下：设点A在平?

面BCD上的射影为点H，连结AH、BH、CH、DH,如图所示.?

由AH⊥面BCD，AB⊥CD，得BH⊥CD.同理可得CH⊥BD.?

故H为△BCD的垂心，得HD⊥BC.?

又由三垂线定理逆定理可知BC⊥AD.所以命题④为真命题.?

②③都是假命题，可用特例结合反证法来证明.?

如图，设AB=CD=1，AC=BD=2，AB⊥AC，BD⊥CD，作AN⊥BC于N，连结ND.假设BC⊥AD,则BC⊥平面NAD,得BC⊥ND.?

在Rt△ABC中，BN=，??

在Rt△BDC中，BN=，两者相矛盾，假设不正确，即命题②③都是假命题.?

综上，真命题的序号是①④.

练习册系列答案
相关题目
15、对于四面体ABCD，下列命题正确的序号是
①④⑤
．
①相对棱AB与CD所在的直线异面；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD的三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；
④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；
⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．
15、对于四面体ABCD，下列命题正确的是
①④⑤
．（写出所有正确命题的编号）．
①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；
④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；
⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．
8、对于四面体ABCD，有如下命题
①棱AB与CD所在的直线异面；
②过点A作四面体ABCD的高，其垂足是△BCD的三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；
④分别作三组相对棱的中点连线，所得的三条线段相交于一点，
其中正确的是（　　）
17、对于四面体ABCD，下列命题正确的是
①④
．（写出所有正确命题的编号）
①相对棱AB与CD所在的直线异面
②由顶点A作四面体的高，其垂足必是△BCD的三条高线的交点
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线必异面
④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．
以下五个命题中，正确命题的个数是
3
3
．
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若a，b，c为空间中不重合的三条直线，若a⊥c，b⊥c，则a∥b；
③对于四面体ABCD，任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；
④对于四面体ABCD，相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；
⑤各个面都是三角形的几何体是三棱锥．

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