题目内容
1．若（a+b+c）（b+c-a）=3bc且sinA=2sinBcosC，则△ABC是（ ）| A． | 直角三角形 | B． | 等腰三角形 | C． | 等边三角形 | D． | 等腰直角三角形 |
分析 根据余弦定理得出A=$\frac{π}{3}$，再利用三角恒等变换得出B=C，即可得出△ABC是等边三角形．
解答 解：∵（a+b+c）（b+c-a）=3bc，
∴（b+c）2-a2=3bc，
即b2+c2-a2=bc；
∴cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$；
又sinA=2sinBcosC，
∴sin（B+C）=2sinBcosC，
即sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，
∴sinBcosC-cosBsinC=0，
即sin（B-C）=0，
∴B-C=0，
即B=C；
综上，△ABC是等边三角形．
故选：C．
点评 本题考查了三角恒等变换的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是基础题目．
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