题目内容

【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,∠BCC1= ,AB=BB1=2,BC=1,D为CC1中点.
(1)求证:DB1⊥平面ABD;
(2)求二面角A﹣B1D﹣A1的平面角的余弦值.

【答案】
(1)证明:∵BC=B1C1=1,CD=C1D= BB1=1,∠BCC1= ,∠B1C1D=π﹣∠BCC1=

∴BD=1,B1D=

∴BB12=BD2+B1D2,∴BD⊥B1D.

∵AB⊥平面BB1C1C,BD平面BB1C1C,

∴AB⊥B1D,又AB平面ABD,BD平面ABD,AB∩BD=B,

∴DB1⊥平面ABD


(2)解:以B为原点,以BB1,BA所在直线为x轴,z轴建立空间直角坐标系B﹣xyz,如图所示:

则A(0,0,2),D( ,0),B1(2,0,0),A1(2,0,2),

=( ,﹣ ,0), =(﹣2,0,2), =(0,0,2).

设平面AB1D的法向量为 =(x1,y1,z1),平面A1B1D的法向量为 =(x2,y2,z2),

,即

令x1=1得 =(1, ,1),令x2=1得 =(1, ,0).

∴cos< >= = =

∵二面角A﹣B1D﹣A1是锐角,

∴二面角A﹣B1D﹣A1的平面角的余弦值为


【解析】(1)利用余弦定理计算BD,B1D,再由勾股定理的逆定理得出BD⊥B1D,由AB⊥平面BB1C1C得出AB⊥B1D,于是得出B1D⊥平面ABD;(2)以B为原点建立坐标系,求出平面AB1D的法向量 ,平面A1B1D的法向量 ,计算cos< >即可得出二面角的余弦值.
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的根本,需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.

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