Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，∠BCC1= ，AB=BB1=2，BC=1，D为CC1中点．
（1）求证：DB1⊥平面ABD；
（2）求二面角A﹣B1D﹣A1的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BC=B1C1=1，CD=C1D= BB1=1，∠BCC1= ，∠B1C1D=π﹣∠BCC1= ，

∴BD=1，B1D= ，

∴BB12=BD2+B1D2，∴BD⊥B1D．

∵AB⊥平面BB1C1C，BD平面BB1C1C，

∴AB⊥B1D，又AB平面ABD，BD平面ABD，AB∩BD=B，

∴DB1⊥平面ABD

（2）解：以B为原点，以BB1，BA所在直线为x轴，z轴建立空间直角坐标系B﹣xyz，如图所示：

则A（0，0，2），D（ ， ，0），B1（2，0，0），A1（2，0，2），

∴ =（ ，﹣ ，0）， =（﹣2，0，2）， =（0，0，2）．

设平面AB1D的法向量为 =（x1，y1，z1），平面A1B1D的法向量为 =（x2，y2，z2），

则 ， ，即 ， ，

令x1=1得 =（1， ，1），令x2=1得 =（1， ，0）．

∴cos＜ ， ＞= = = ．

∵二面角A﹣B1D﹣A1是锐角，

∴二面角A﹣B1D﹣A1的平面角的余弦值为 ．

【解析】（1）利用余弦定理计算BD，B1D，再由勾股定理的逆定理得出BD⊥B1D，由AB⊥平面BB1C1C得出AB⊥B1D，于是得出B1D⊥平面ABD；（2）以B为原点建立坐标系，求出平面AB1D的法向量 ，平面A1B1D的法向量 ，计算cos＜ ， ＞即可得出二面角的余弦值．
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．