Question

已知数列的首项为，对任意的，定义.
（Ⅰ） 若，
(i)求的值和数列的通项公式；
(ii)求数列的前项和；
（Ⅱ）若，且，求数列的前项的和.

Answer 1

(1) ,,
(2) 当为偶数时，；当为奇数时，

试题分析：(Ⅰ) 解：(i),,     ………………2分
由得
当时，
=………4分
而适合上式，所以.………………5分
(ii)由(i)得：     ……………6分

……………7分
                             …………8分
(Ⅱ)解：因为对任意的有，
所以数列各项的值重复出现，周期为.        …………9分
又数列的前6项分别为，且这六个数的和为8. ……………10分
设数列的前项和为，则，
当时，
，       ……………11分
当时，

 ，                    …………12分
当时
所以，当为偶数时，；当为奇数时，. ……………13分
点评：解决的关键是对于数列的递推关系的理解和运用，并能结合裂项法求和，以及分情况讨论求和，属于中档题。