Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC，M、Q分别是CC₁、BC的中点，如果对线段A₁B₁上任一点P，都有PQ⊥AM，则∠BAC=________．

Answer 1

90°
分析：先通过AC的中点N构造平面平面A₁NQB₁，由题意得到AM⊥平面A₁NQB₁，借助直线与平面垂直的性质定理，从而得到直线AM⊥NQ，最后结合线面垂直的性质定理即可得到结论．
解答：解：如图
取AC的中点N，连接A₁N、QN，
∵对线段A₁B₁上任一点P，都有PQ⊥AM，
可得：AM⊥平面A₁NQB₁，又NQ?平面A₁NQB₁，
∴AM⊥NQ，又NQ∥AB，
∴AM⊥AB，
又AB⊥AA₁，AA₁，AM?平面ACC₁A₁，
∴AB⊥平面ACC₁A₁，AC?平面ACC₁A₁，
∴AC⊥AB
则∠BAC=90°
故答案为：90°．
点评：本小题主要考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．