题目内容

2010年11月广州成功举办了第十六届亚运会．在华南理工大学学生会举行的亚运知识有奖问答比赛中，甲、乙、丙同时回答一道有关亚运知识的问题，已知甲回答对这道题目的概率是 $数学公式$ ，甲、丙两人都回答错的概率是 $数学公式$ ，乙、丙两人都回答对的概率是 $数学公式$ ．
（1）求乙、丙两人各自回答对这道题目的概率．
（2）求回答对这道题目的人数的随机变量ξ的分布列和期望．

解：（1）设乙、丙各自回答对的概率分别是p₁，p₂，
根据题意，得
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
故乙答对的概率为 $\text{[math]}$ ，丙答对的概率为 $\text{[math]}$ ．
（2）ξ可能取值0，1，2，3，
P（ξ=0）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
P（ξ=1）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
P（ξ=2）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
P（ξ=3）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3
p	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

数学期望为Eξ= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设乙、丙各自回答对的概率分别是p₁，p₂，根据题意，得 $\text{[math]}$ ，由此能求出乙、丙两人各自回答对这道题目的概率．
（2）ξ可能取值0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和数学期望为Eξ．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型，解题时要认真审题，仔细解答．