Question

【题目】设f（x）是定义在R上的奇函数，且满足x＞0时，f（x）+xf'（x）＞0，f（2）=0，则不等式f（x）＞0的解集为 ．

Answer 1

【答案】（﹣2,0）∪（2,+∞）
【解析】解：根据题意，令g（x）=xf（x），则其导数g′（x）=f（x）+xf'（x），

又由当x＞0时，f（x）满足f（x）+xf'（x）＞0，则有g′（x）＞0，即函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，

若f（2）=0，则g（2）=2f（2）=0，

函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，

则在（0，2）上，g（x）=xf（x）＜0，在（2，+∞）上，g（x）=xf（x）＞0，

又由x＞0，则有在（0，2）上，f（x）＜0，在（2，+∞）上，f（x）＞0，

又由f（x）是定义在R上的奇函数，

则在（﹣2，0）上，f（x）＞0，在（﹣∞，﹣2）上，f（x）＜0，

综合可得：不等式f（x）＞0的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞）

所以答案是：（﹣2，0）∪（2，+∞）

【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题．