Question

17．已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）+2x＞0的解集为（1，3）．
（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等实数根，求f（x）的解析式．
（2）若关于x的不等式f（x）＞0在R上有解，求实数a的取值范围．
（3）若关于x的不等式-2≤f（x）≤-1在R上有唯一解，且关于x的不等式m≤f（x）≤n解集为[x₁，x₂]∪[x₃，x₄]，x₁＜x₂＜x₃＜x₄，求实数a的取值集合及$\sum_{i=1}^4{x_i}$的值．

Answer 1

分析 （1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，结合不等式的解集，利用待定系数法进行求解即可求f（x）的解析式；
（2）若关于x的不等式f（x）＞0在R上有解，则函数的最大值为正，进而得到实数a的取值范围．
（3）若关于x的不等式-2≤f（x）≤-1在R上有唯一解，则$f{（x）_{max}}=-\frac{{{a^2}+4a+1}}{a}$=-2，根据二次函数的对称性，可得答案．

解答 解：（1）∵二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）+2x＞0解集为（1，3），
∴可设f（x）+2x=a（x-1）（x-3），且a＜0
∴f（x）=ax²-（2+4a）x+3a
由方程f（x）+6a=0得ax²-（2+4a）x+9a=0，
∵方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，
∴△=0⇒a=1或$-\frac{1}{5}$，而a＜0，
∴$a=-\frac{1}{5}$，
∴$f（x）=-\frac{1}{5}{x^2}-\frac{6}{5}x-\frac{3}{5}$
（2）f（x）=ax²-2（1+2a）x+3a，（a＜0）
由关于x的不等式f（x）＞0在R上有解，
∵$f{（x）_{max}}=-\frac{{{a^2}+4a+1}}{a}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\-\frac{{{a^2}+4a+1}}{a}＞0\end{array}\right.$
解得$a＜-2-\sqrt{3}$或$-2+\sqrt{3}＜a＜0$
∴实数a的取值范围是$（-∞，-2-\sqrt{3}）∪$$（-2+\sqrt{3}，0）$．
（3）∵关于x的不等式-2≤f（x）≤-1在R上有唯一解，
∴$f{（x）_{max}}=-\frac{{{a^2}+4a+1}}{a}$=-2，且a＜0，
∴a=-1，
∴a∈{-1}，
∴f（x）=-x²+2x-3，且函数的图象关于直线x=1对称，
若关于x的不等式m≤f（x）≤n解集为[x₁，x₂]∪[x₃，x₄]，x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
则x₂+x₃=2，x₁+x₄=2，
∴$\sum_{i=1}^4{x_i}=4$

点评 本题主要考查一元二次函数解析式的求解，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解决本题的关键