Question

(本小题满分12分)函数，．
（Ⅰ）求的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论与的大小关系；
（Ⅲ）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）在是函数的减区间;是函数的增区间.的最小值是．（II）当时，；当时，．
（Ⅲ）不存在.

试题分析：（1）∵，∴（为常数），又∵，所以，即，
∴；，∴，令，即，解得，
因为＞，所以＜0，＜0，
当时，，是减函数，故区间在是函数的减区间；
当时，，是增函数，故区间在是函数的增区间；
所以是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，
所以的最小值是．…………4分
（2），设，则，
当时，，即，当时，，，
因此函数在内单调递减，当时，=0，∴；
当时，=0，∴．…………8分
（3）满足条件的不存在．证明如下：
证法一 假设存在，使对任意成立，
即对任意有              ①
但对上述的，取时，有，这与①左边的不等式矛盾，
因此不存在，使对任意成立．  …………12分
证法二 假设存在，使对任意成立，
由（1）知，的最小值是，
又，而时，的值域为，
∴当时，的值域为，
从而可以取一个值，使，即,∴
，这与假设矛盾．
∴不存在，使对任意成立
点评：利用导数求函数的单调区间，一定要先求函数的定义域。此题的综合性较强，对学生的能力要求较高。