题目内容
如图，已知三棱锥A-PBC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且AB=2MP．（1）求证：DM∥平面APC；
（2）求证：平面ABC⊥平面APC．
分析：（1）由MD为三角形PAB的中位线，可得MD∥AP．再根据直线和平面平行的判定定理证得DM∥平面APC．
（2）由条件证得PA⊥平面PBC，可得PA⊥BC；再由BC⊥PC，证得BC⊥平面PAC．利用平面和平面垂直的判定定理证得平面ABC⊥平面APC．
（2）由条件证得PA⊥平面PBC，可得PA⊥BC；再由BC⊥PC，证得BC⊥平面PAC．利用平面和平面垂直的判定定理证得平面ABC⊥平面APC．
解答：解：（1）由于M为AB中点，D为PB中点，故MD为三角形PAB的中位线，故MD∥AP．
而AP?平面APC，MD不在平面APC内，故有DM∥平面APC．
（2）∵M为AB中点，且AB=2MP，故有MA=MB=MP，故M为△PAB的外心，故有PA⊥PB．
再由AP⊥PC，PB∩PC=P，可得PA⊥平面PBC，故PA⊥BC．
再由BC⊥PC，PA∩PC=P，可得BC⊥平面PAC．
而BC?平面ABC，故有平面ABC⊥平面APC．
而AP?平面APC，MD不在平面APC内，故有DM∥平面APC．
（2）∵M为AB中点，且AB=2MP，故有MA=MB=MP，故M为△PAB的外心，故有PA⊥PB．
再由AP⊥PC，PB∩PC=P，可得PA⊥平面PBC，故PA⊥BC．
再由BC⊥PC，PA∩PC=P，可得BC⊥平面PAC．
而BC?平面ABC，故有平面ABC⊥平面APC．
点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定定理、性质定理，以及平面和平面垂直的判定定理的应用，属于中档题．
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