题目内容
△ABC中
（1）已知2B=A+C，b=1，求a+c的范围
（2）已知2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，且sinB+sinC=1，判断△ABC的形状．
（1）已知2B=A+C，b=1，求a+c的范围
（2）已知2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，且sinB+sinC=1，判断△ABC的形状．
（1）∵△ABC中，2B=A+C，
∴A+B+C=π，即B=
，
∵b=1，∴由正弦定理得：2R=
=
=
，
∵A+C=
，即C=
-A，
∴a+c=2RsinA+2RsinC=2R（sinA+sinC）=
[sinA+sin（
-A）]=
2sin
cos（A-
）=4cos（A-
），
∵0＜A＜
，∴-
＜A-
＜
，
∴
＜cos（A-
）＜1，即2＜4cos（A-
）＜4，
则a+c的范围是（2，4）；
（2）已知等式利用正弦定理化简得：2a2=b（2b+c）+c（2c+b），即b2+c2-a2=-bc，
∴cosA=
=
=-
，
∵A为三角形内角，∴A=120°，即B+C=60°，
∴sinB+sinC=sinB+sin（60°-B）=2sin30°cos（B-30°）=cos（B-30°）=1，
∴B-30°=0，即B=30°，
则△ABC为等腰三角形．
∴A+B+C=π，即B=
| π |
| 3 |
∵b=1，∴由正弦定理得：2R=
| b |
| sinB |
| 1 | ||||
|
2
| ||
| 3 |
∵A+C=
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴a+c=2RsinA+2RsinC=2R（sinA+sinC）=
4
| ||
| 3 |
| 2π |
| 3 |
4
| ||
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∵0＜A＜
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
则a+c的范围是（2，4）；
（2）已知等式利用正弦定理化简得：2a2=b（2b+c）+c（2c+b），即b2+c2-a2=-bc，
∴cosA=
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| -bc |
| 2bc |
| 1 |
| 2 |
∵A为三角形内角，∴A=120°，即B+C=60°，
∴sinB+sinC=sinB+sin（60°-B）=2sin30°cos（B-30°）=cos（B-30°）=1，
∴B-30°=0，即B=30°，
则△ABC为等腰三角形．
练习册系列答案
相关题目
、
是单位圆
上的动点，
是圆与
轴正半轴的交点，设
．
的坐标为
时，求
的值；
，且当点A、B在圆上沿逆时针方向移动时总有
，试求
的取值范围．
0