Question

（2013•湛江二模）已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，2），B（1，3），C（2，5），l为BC边上的高所在直线．
（1）求直线l的方程；
（2）直线l与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1相交于D、E两点，△CDE是以C（2，5）为直角顶点的等腰直角三角形，求该椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）利用相互垂直的直线的斜率之间的关系即可得到k_l，再利用点斜式即可得出；
（2）利用等腰三角形的性质可得底边DE的中点F的坐标，下面转化为中点弦的问题，把直线l的方程与椭圆的方程联立及利用根与系数的关系即可得出．

解答：解：（1）k_BC=2，因为l为BC边上的高所在直线，∴l⊥BC，∴k_l•k_BC=-1，解得kl=-

1

2

，
直线l的方程为：y-2=-

1

2

（x-3），即：x+2y-7=0
（2）过C作CF⊥DE，依题意，知F为DE中点，直线CF可求得为：2x-y+1=0．
联立两直线方程可求得：F（1，3），
由椭圆方程与直线ED联立方程组，
可得：（a²+4b²）y²-28b²y+49b²-a²b²=0y1+y2=

28b2

a2+4b2

=6，化为b2=

3

2

a2，
又CF=

5

，所以，|DE|=2

5

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=2

5

，即

5(y2-y1)2

=2

5

，
所以，(y2+y1)2-4y1y2=4，即36-4

49b2-a2b2

a2+4b2

=4，解得：a2=

35

3

，b2=

35

2

，
所以，所求方程为：

x2

35 3

+

y2

35 2

=1

点评：本题综合考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、等腰三角形的性质、中点问题、相互垂直的直线斜率之间的关系等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．